Königsb.Kap.5neu

Prof. Dr. Bernd Dreseler
5 Folgen
5.1 Konvergenz von Folgen
Definition:
Eine Folge  a n  heißt konvergent,
wenn es eine Zahl a  mit folgender Eigenschaft gibt:
Zu jedem   0 existiert ein N  so, daß
an  a  
für alle
n>N
Die Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Folge, und man schreibt
lim an  a
n
oder
an  a für n  
Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge.
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
Wichtige Folgen und ihre Grenzwerte:
1
1. lim s  0
n  n
für jedes positive s  .
2. lim n a  1
für jedes reelle a > 0.
n 
3. lim n n  1.
n 
4. lim q  0
für jedes q 
mit q  1.
nk
5. lim n  0
n  z
für jedes k 
und z 
n
n 
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
mit z  1.
Prof. Dr. Bernd Dreseler
5.2 Rechenregeln
Regel I:
Für die Folgen  an  und  bn  gelte an  a und bn  b.
Dann gilt :
a) an  bn  a  b ,
b) an  bn  a  b .
an
a
c) Ist b  0, so sind fast alle bn  0, und es gilt
 .
bn
b
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
Regel II:
Für die Folge  an  gelte an  a.
Dann gilt auch
an  a ,
an  a,
Re an  Re a,
Im an  Im a .
Insbesondere sind Grenzwerte reeller Folgen reell.
Ferner folgt
lim an  lim Re an  i lim Im an
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
Regel III:
Es gelte an  a und bn  b, ferner an  bn für fast alle n.
Dann gilt auch a  b.
Folgerung:
Liegen alle Glieder einer konvergenten Folge  an  in dem
kompakten Intervall  A, B  , dann auch ihr Grenzwert.
Einschließungsregel (Sandwich-Theorem)
Zur Folge  an  gebe es konvergente Folgen  An 
und  Bn  mit An  an  Bn für fast alle n und mit lim An  lim Bn .
Dann ist auch  an  konvergent, und es gilt lim an  lim An .
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
Asymptotische Gleichheit.
Zwei Folgen  an  und  bn  von Zahlen  0 heißen
 an 
asymptotisch gleich, falls die Folge   gegen 1 konvergiert,
 bn 
an
lim  1;
n b
n
www.bernd-dreseler.de
in Zeichen:
an  bn
Vorlesung Analysis I
für n  
Prof. Dr. Bernd Dreseler
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
5.3 Monotone Folgen
Eine Folge  an  heißt beschränkt,wenn es eine Zahl s gibt, so daß für
alle Glieder an  s gilt.
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Definition:
Eine Folge  an  reeller Zahlen heißt
a) monoton wachsend , wenn an  an1 für alle n,
b) monoton fallend , wenn an  an1 für alle n gilt.
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
Satz:
Jede beschränkte, monotone Folge  an  konvergiert, und zwar
a) eine wachsende gegen sup A, wobei A : {an : n  };
b) eine fallende gegen inf A.
5.4 Eine Rekursionsformel
zur Berechnung von Quadratwurzeln
Satz:
Bei beliebig gewähltem Startwert x0  0 konvergiert die durch
1
a
xn 1   xn   definierte Folge gegen a .
2
xn 
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß
Häufungswerte:
h
heißt Häufungswert der Fo lg e(an ),
wenn jede Umgebung K (h) von h unendlich viele Folgenglieder an enthält,
d.h., wenn gilt:
h  an   für unendliche viele n.
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
Satz von Bolzano-Weierstraß, 1.Fassung:
Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt einen Häufungswert.
Jede beschränkte Folge  an  reeller Zahlen hat einen
größten Häufungswert h* und einen kleinsten h* ;
diese haben die Eigenschaft, daß für jedes   0 gilt:
(6* )
an  h*   für fast alle n,
(6* )
an  h*   für fast alle n.
h* heißt Limes sup erior , h* Limes inf erior von (an ).
h* : limsup an bzw. h* : lim inf an .
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
Teilfolgen:
Ist (an ) eine Folge komplexer Zahlen und (nk ) eine
streng monoton wachsende Folge von Indizes, so heißt die durch
k
 
definierte Folge ank
k
ank , k  ,
Teilfo lg e von (an ).
Lemma:
h
ist ein Häufungswert einer Folge  an  genau dann,
 
wenn h der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge ank ist.
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
Satz von Bolzano-Weierstraß, 2. Fassung
Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.
5.6 Das Konvergenzkriterium von Cauchy.
Nochmals die Vollständigkeit von
Konvergenzkriterium von Cauchy:
Eine Folge  an  komplexer Zahlen konvergiert genau dann,
wenn es zu jedem  >0 ein N gibt, so daß gilt:
an  am   , falls n und m  N sind.
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
Definition:
Eine Folge  an  komplexer Zahlen heißt Cauchy  Fo lg e oder
Fundamentalfo lg e, wenn es zu jedem  >0 ein N gibt, so daß
an  am   , falls n und m  N .
Vollständigkeit von
:
Das Intervallschachtelungsprinzip folgt aus dem
Cauchyschen Konvergenzkriterium.
Intervallschachtelungsprinzip (V)

Satz von Bolzano-Weierstraß

Cauchy-Kriterium

Intervallschachtelungsprinzip (V)
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
5.7 Die erweiterte Zahlengerade
Zur Bildung von Grenzwerten ist es zweckmäßig,
um zwei ideelle Elemente  und - zu erweitern:
:
 {, }.
Dabei setzt man -  x   x  .
Man definiere ferner wie in 2.3 Intervalle in
 a,  : {x 
: a  x  },  a,  : {x 
, z.B.
: a  x  }
und analog weiter.
Die Intervalle  K, ,  , K  heißen auch Umgebungen von  bzw. -.
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Bernd Dreseler
Definition:
Für eine Folge  an  reeller Zahlen setzt man
lim an : , falls jede Umgebung  K ,  fast alle an enthält,
lim an : , falls jede Umgebung -,K  fast alle an enthält.
Die Folge heißt dann bestimmt divergent oder auch
uneigentlich konvergent.
Ferner setzt man
limsup an : , falls jede Umgebung  K ,  unendlich viele an enthält;
liminf an : , falls jede Umgebung  -,K  unendlich viele an enthält.
www.bernd-dreseler.de
Vorlesung Analysis I