5.11.2003

Zeitreihenanalyse und
Prognoseverfahren
Literatur
Newbold & Bos, Introductory Business
Forecasting (2nd ed.), Cincinnati: South
Western Publ., 1994
Abraham & Ledolter, Statistical Methods
of Forecasting, New York: Wiley, 1983.
Zeitreihen
 in regelmäßigen Zeitabständen
genommene Beobachtungen y1, y2, …,
yt, …, (yn) eines Merkmals Y
 Beispiele
 jährliche Investitionen eines Unternehmens
 die wöchentlichen Umsätze einer
Supermarkt-Kette
 die täglichen Börsenkurse einer
Aktiengesellschaft
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Prognoseverfahren
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Aufgaben der Zeitreihenanalyse
 Beschreibung der Zeitreihe
 Prognose
 Erklärung der Datengenerierung
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Prognoseverfahren
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Komponenten von Zeitreihen
 Trend
 Saisonale (und/oder zyklische)
Schwankungen (Saisonalität)
 Irreguläre Schwankungen (Störterm,
noise)
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Prognoseverfahren
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Modelle für Zeitreihen
 additives Modell
yt = Tt + St + Ut
 multiplikatives Modell
yt = Tt * St * Ut
mit
Tt: Trend
St: Saisonalität
Ut: Störterm
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Prognoseverfahren
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Modelle für den Trend
 Tt = a + b.t (linearer Trend)
 Tt = a + b.t + g.t2 + … (polynomialer
Trend)
 Tt = a exp {b.t} (exponentieller
Trend)
 Tt = a/[1 + b exp {– g.t}]
(Sättigungsmodell)
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Prognoseverfahren
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Schätzen der Trendkomponente
 Globale Anpassung: Methode der
kleinsten Quadrate
 Lokale Anpassung: Methode der
gleitenden Durchschnitte
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Prognoseverfahren
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Schätzen der Saisonkomponenten
Annahme eines additiven Modells
 Schätzung des Trends Tt
 Abziehen des Trends liefert (näherungsweise) St + Ut,
 Durchschnitt der Werte jeder Saisonkomponente gibt vorläufige Schätzer
 Zentrieren der Saisonkomponenten
(Abziehen des Durchschnitts)
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Prognoseverfahren
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Autokorrelation
 Autokorrelation rk: Maß für die Stärke
der Abhängigkeit zwischen yt und yt+k
(oder yt-k)
rk = sk/s2
mit
sk = S(yt-ybar)(yt+k-ybar)/n
(k=0,1,2,…); ybar: Durchschnitt der yt; s2 =
s0
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Prognoseverfahren
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Autokorrelationsfunktion
 r(k) = rk, k=0,1,2,…
 die graphische Darstellung wird auch
Korrelogramm genannt
 gute Hilfe zur Interpretation der
Zeitreihe
 Hinweise auf Saisonalität
 Hinweise auf Trend
 Hinweise auf Prognosequalität
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Prognoseverfahren
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Prognose
oder Vorhersagen für Beobachtung yn+r:
ŷn(r)
n: Prognosezeitpunkt
r: Prognosehorizont
 Prognoseintervall
ŷn(r) ± c
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Prognoseverfahren
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Aufgabe der Prognoserechnung
 Bestimmung von
 ŷn(r) und
 c
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Prognoseverfahren
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Prognosemethoden
 Univariate Methoden
 exponentielles Glätten
 Box-Jenkins ARIMA Modelle
 Strukturelle Zeitreihenmodelle
 Multivariate Methoden
 Regressionsmodelle
 Ökonometrische Modelle (simultane
Gleichungssysteme)
 Judgmental Methods
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Prognoseverfahren
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Wahl der Prognosemethode
 entsprechend dem Typ der Zeitreihe:
 Kein Trend, keine Saisonalität
 Trend, keine Saisonalität
 Trend, Saisonalität
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Prognoseverfahren
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Kein Trend, keine Saisonalität
yt = m + ut
 m: Niveau, ut: Störterm, noise
1. Konstantes Niveau
ŷn(r) = ybar für alle r
2. Variables Niveau
ŷn(r) = Ln für alle r
geschätztes Niveau: Ln= ayn + (1–a)Ln-1
(Methode des Exponentiellen Glättens)
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Prognoseverfahren
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Exponentielles Glätten
 Rekursion zum „Update“ des Schätzers
Ln= ayn + (1–a)Ln-1
 Langschreibweise:
Ln = a[yn + (1–a) yn-1 + (1–a)2 yn-2+ …]
 Exponentiell abnehmende Gewichte
a, a(1–a), a(1–a)2, …
Glättungskonstante a
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Prognoseverfahren
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Beispiel
y1 = 5; y2 = 4; y3 = 5; y4 = 6; y5 = 8
Anfangswert: L1 = y1
Glättungskonstante: a = 0.2
Berechnen des Niveau-Schätzers
L2 = ay2 + (1-a)L1= (0.2)(4) + (0.8)(5)
= 4.8
 L3 = (0.2)(5) + (0.8)(4.8) = 4.84
 etc.





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Prognoseverfahren
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Beispiel, Forts.
9
8
7
6
y_t
5
L_t
4
yhat_t
3
2
1
0
1
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2
3
4
5
6
Prognoseverfahren
7
18
Korean. Exporte, 70/1-86/2
12000,0
10000,0
8000,0
6000,0
4000,0
2000,0
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Prognoseverfahren
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
t
0,0
19
Glättungskonstante a
 Bedingung für Konvergenz: 0 ≤ a ≤ 1
 Übliche Werte: 0.1 ≤ a ≤ 0.3
 durch Minimieren der Summe der
quadrierten einstufigen Prognosefehler
SSE = S [yt – ŷt-1(1)]2
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Prognoseverfahren
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Glättungskonstante a, Forts
 Extreme Werte für a:
 a = 1:
 ŷn(r) = Ln = yn
 Naive Prognose, „random walk“ Prognose
 a = 0:
 ŷn(r) = Ln = (1/n)[yn + yn-1 + … + y1]
 gleiches Gewicht für alle Beobachtungen
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Prognoseverfahren
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Trend, keine Saisonalität
yt = m + b t + ut
m: Niveau, b: Anstieg der Trendge-raden, ut:
Störterm, noise
 Prognose (Exponentielles Glätten nach
Holt):
ŷn(r) = Ln + r Tn für alle r
Ln: geschätztes Niveau
Tn: geschätzte Trendkomponente
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Prognoseverfahren
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„Update“ der Schätzer
Ln = a1 yn + (1 – a1) [Ln-1 + Tn-1]
Tn = a2 [Ln – Ln-1] + (1 – a2) Tn-1
 a1, a2: Glättungskonstante
0 ≤ a1 ≤ 1, 0 ≤ a2 ≤ 1
 großer Wert einer Glättungskonstanten:
Betonung der neuesten Information
 kleiner Wert einer Glättungskonstanten:
alle Beobachtungen bekommen ziemlich
das gleiche Gewicht
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Prognoseverfahren
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„Update“ der Schätzer, Forts.
 Initialisierung: L2 = y2, T2 = y2 – y1
 Wahl der Glättungskonstanten durch
Minimieren der Summe der quadrierten
einstufigen Prognosefehler
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Prognoseverfahren
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Korean. Exporte, 70/1-86/2
12000,0
10000,0
8000,0
6000,0
4000,0
2000,0
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Prognoseverfahren
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
t
0,0
25
Trend und Saisonalität
 Exponentielles Glätten nach HoltWinters
 Bei Monatsdaten (s = 12)
ŷn(r) = [Ln + r.Tn] Sn+r-12 (r=1,…,12)
= [Ln + r.Tn] Sn+r-24 (r=13,…,24)
= etc.
Ln: geschätztes Niveau, Tn: geschätzte
Trendkomponente, Sn: geschätzte
Saisonkomponente
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Prognoseverfahren
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„Update“ der Schätzer
Ln = a1 [yn/Sn-12] + (1–a1) [Ln-1+Tn-1]
Tn = a2 [Ln–Tn-1] + (1–a2) Tn-1
Sn = a3 [yn/Ln] + (1–a3) Sn-12
 a1, a2, a3: Glättungskonstante
a1, a2, a3 ≤ 1
 Wahl der ai: durch Minimieren der
 0≤
Summe der quadrierten einstufigen
Prognosefehler
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Prognoseverfahren
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Prognoseintervall
 für ŷn(r): Berechnung aller r-stufigen
Prognosefehler
yr+1–ŷ1(r), yr+2–ŷ2(r), …, yn–ŷn-r(r)
 Varianz der Prognosefehler
sr2 = S [yt – ŷt-r(r)]2 /(n – r)
 95%-iges (r-stufiges) Prognoseintervall
für yn+r:
ŷn-r(r) ± 2sr
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Prognoseverfahren
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Autoregressive Modelle
 AR(1)-Modell
yt = b0 + b1 yt1 + ut
 AR(2)-Modell
yt = b0 + b1 yt1 + b2 yt2 + ut
 AR(p)-Modell
yt = b0 + b1 yt1 + ... + bp ytp + ut
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Prognoseverfahren
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Analyse der AR-Modelle
 Identifikation, d.h. Festlegen der
Ordnung p
 Schätzen der Parameter
 zum Schätzen wird LS-Schätzung verwendet
 Prognose
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Prognoseverfahren
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AR(1)-Modell: Prognose
ŷn(1) = b0 + b1 yn
ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1)
...
ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) für r  2
mit bi: Schätzer von bi
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Prognoseverfahren
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AR(2)-Modell: Prognose
ŷn(1) = b0 + b1 yn + b2 yn-1
ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1) + b2 yn
ŷn(3) = b0 + b1 ŷn(2) + b2 ŷn(1)
...
ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) + b2 ŷn(r-2) für r  3
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Prognoseverfahren
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